引言

先来看两个例子.

设函数，其逆变换为，正逆变换的导函数为

容易发现它们满足如下关系

而对于极坐标变换

其逆变换为

正逆变换的导函数为

容易发现它们并不满足如下关系

为什么一维的情况满足倒数关系，而二维以上的情况就不满足了？如果诸位学过微分几何，其原因将不言自明.而对于高等数学的初学者，可能会疑惑很久.为此笔者将用初等的语言详细讲述其原因.在此之前，笔者将上述二例整理为如下问题.

问题

为什么一维坐标变换

具有关系

而维的坐标变换

一般不具有关系

回答

维的坐标变换是由个元函数构成函数组，形如

与函数组的导数相关的数学结构是Jacobi矩阵，上面这个函数组的Jacobi矩阵是：

的元素就是我们要研究的目标等式的左侧.为了得到目标等式的右侧，我们需要通过函数组反解出逆变换

逆变换也对应了一个Jacobi矩阵，且逆变换的Jacobi恰好就是正变化的逆矩阵：

现在我们就构造出了目标等式右侧的元素.至此，我们便已经能解释第一个问题了,一维的特例之所以成立，是因为一维的矩阵乘法与实数的乘法同构，使得可以推出；而二维及二维以上的矩阵乘法与实数的乘法不同构，互逆矩阵i行j列的元素没有倒数关系.

我们对式求逆得到：

其中是的代数余子式.结合与可以得到

由于其中含有行列式和余子式，所以一项通常会与多项耦合在一起.一维时，行列式与矩阵相等，且余子式退化为1，同样可以得到前面的结论.